Demonstração da Fórmula de Bhaskara

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A demonstração da Fórmula de Bhaskara é um pouco complicada, mas nada impossível, preste atenção a cada detalhe da demonstração.

Para a demonstração, vamos começar com a forma geral de uma equação do 2º grau.

ax^2+bx+c=0

Para o início da brincadeira iremos multiplicar os dois membros da equação por $\frac{1}{a}$ , então fica da seguinte forma:

\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}

Realizando as demais operações chegamos até a equação:

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

Agora iremos somar $\frac{b^2}{4a^2}$ aos dois membros da equação, a fim de formar no membro esquerdo da equação um trinômio quadrado perfeito.

x^2+\frac{b}{a}x\ +\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}

Portanto, realizaremos as seguintes simplificações:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\ \frac{-4ac+b^2}{4a^2}

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\ \frac{b^2-4ac}{4a^2}

Como temos um dos membros da equação elevado ao quadrado iremos fazer a raiz quadrada dos dois membros da equação:

\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\ \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Aplicando as simplificações pertinentes obtemos:

x+\frac{b}{2a}=\ \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}

Note que $\sqrt{4a^2}$ possui duas soluções: $+2a$ ou $-2a$ , por isso aparece o mais ou menos na fórmula:

x+\frac{b}{2a}=\pm\ \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Por fim, realizando as operações obtemos a fórmula de Bhaskara:

x=-\frac{b}{2a}\pm\ \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\ \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

OBSERVAÇÃO: Para facilitarmos as contas utilizamos na fórmula a letra grega delta ( $\Delta$ ), onde:

\Delta=b^2-4ac

Portanto, a fórmula de Bhaskara mais difundida é:

x=\ \frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}

Espero que a demonstração da Fórmula de Bhaskara te ajude em seus estudos!